Информация о задаче

Задача 87046

Тема:

[

Геометрия (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC, O - произвольная точка пространства. Докажите, что

OM² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (OA² + OB² + OC²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (AB² + BC² + AC²).

Подсказка

Пусть M - точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \overline{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$ ).

Решение

Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то

$\displaystyle \overline{OM}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ( $\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$ ),

поэтому

$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ ( $\displaystyle \overline{OA}$ + $\displaystyle \overline{OB}$ + $\displaystyle \overline{OC}$ )² =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (OA² + OB² + OC² + 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OB}$ + 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ + 2^. $\displaystyle \overline{OB}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ ).

Из равенства $\overline{AB}$ = $\overline{OB}$ - $\overline{OA}$ следует, что AB² = OB² - 2^. $\overline{OA}$ ^. $\overline{OB}$ + OA², откуда находим, что

2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OB}$ = OB² + OA² - AB².

Аналогично находим, что

$\displaystyle \overline{BC}$ = $\displaystyle \overline{OC}$ - $\displaystyle \overline{OB}$ , BC² = OC² - 2^. $\displaystyle \overline{OB}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ + OB²,

$\displaystyle \overline{AC}$ = $\displaystyle \overline{OA}$ - $\displaystyle \overline{OC}$ , AC² = OA² - 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ + OC²,

откуда

2^. $\displaystyle \overline{OB}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ = OC² + OB² - BC², 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ = OA² + OC² - AC².

Следовательно,

$\displaystyle \overline{OM}^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (OA² + OB² + OC² + 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OB}$ + 2^. $\displaystyle \overline{OA}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ + 2^. $\displaystyle \overline{OB}$ ^. $\displaystyle \overline{OC}$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (OA² + OB² + OC² + OB² + OA² - AB² + OC² + OB² - BC² + OA² + OC² - AC²) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (3^.OA² + 3^.OB² + 3^.OC² - AB² - BC² - AC²) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (OA² + OB² + OC²) - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{9}}$ (AB² + BC² + AC²).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7259