Задача 87049

Темы:    [ Теорема Пифагора в пространстве ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На диагоналях D1A , A1B , B1C , C1D граней куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки M , N , P , Q , причём

D1M:D1A = BN:BA1 = B1P:B1C = DQ:DC1 = μ,
а прямые MN и PQ взаимно перпендикулярны. Найдите μ .

Решение

Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z , = , = , = , x = y = z = a . Тогда

= + + = μ + + (1-μ) =

= μ ( + ) - + (1-μ)( - ) = (1-μ ) + (μ -1) + (2μ -1) ,

= + + = μ + + (1-μ ) =

= μ (- + ) + + (1-μ )(- - ) = (μ -1) + (1-μ ) + (2μ -1).
Поскольку MN PQ , имеем:
· = ((1-μ ) + (μ -1) + (2μ -1))((μ -1) + (1-μ ) + (2μ -1)) =

= -(μ -1)2a2 - (μ -1)2a2 + (2μ -1)2a2 =

= (-(μ -1)2 - (μ -1)2 + (2μ -1)2)a2 =

= (-2μ 2 + 4μ - 2 + 1 - 4μ + 4μ 2)a2 = (2μ 2 - 1)a2 = 0,
откуда находим, что |μ| = , а т.к. μ > 0 , то μ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7262