Задача 87068

Темы:    [ Развертка помогает решить задачу ] [ Равногранный тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде ABCD суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B и C равны 180^o и AD = BC . Найдите объём пирамиды. если площадь грани BCD равна 100, а расстояние от центра описанного шара до плоскости основания ABC равно 3.

Решение

Рассмотрим развёртку D1AD2BD3C тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC , причём точки D1 , D2 и D3 – вершины треугольников с основаниями AC , AB и BC соответственно (рис.2). Поскольку суммы трёх плоских углов при каждой из вершин B и C тетраэдра ABCD равны 180^o , точка C лежит на отрезке D1D3 , а точка B – на отрезке D2D3 , причём C и D – середины этих отрезков. Поэтому BC – средняя линия треугольника D1D2D3 . Значит, D1D2 = 2BC , а т.к. AD = BC , то AD1 = AD2 = BC , поэтому AD1 + AD2 = D1D2 . Это означает, что точка A лежит на отрезке D1D2 , причём A – середина этого отрезка. Таким образом, AC , AB и BC – средние линии треугольника D1D2D3 . Следовательно,

BD = BD2 = AC, CD = CD1 = AB,
т.е. противолежащие рёбра тетраэдра ABCD попарно равны. Значит, все грани тетраэдра – равные треугольники (по трём сторонам) (рис.3). Докажем, что расстояния от центра описанного шара этого тетраэдра до всех его граней равны между собой. Пусть O – центр шара радиуса R , описанного около данного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки O на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней (рис.1). Поскольку все грани – равные треугольники, радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через R1 . Тогда расстояния от точки O до плоскостей граней равны = r . Значит, точка O удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r . Соединив точку O со всеми вершинами тетраэдра, разобъём его на четыре тетраэдра, основания которых – грани исходного тетраэдра, а высоты, опущенные на основания равны r . Объём исходного тетраэдра равен сумме объёмов четырёх тетраэдров нашего разбиения. Поскольку полная поверхность S тетраэдра ABCD равна 4· 100 = 400 , а расстояния от точки O до граней тетраэдра равны r , то
V_ABCD = S· r = · 400· 3 = 400.

Ответ

400.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7286