Задача 87072

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD ( P – вершина) со стороной основания a и боковым ребром a . Сфера с центром в точке O проходит через точку A и касается рёбер PB и PD в их серединах. Найдите объём пирамиды OPCD .

Решение

Пусть M и N – середины рёбер PB и PD соответственно, K – центр основания ABCD . Поскольку указанная сфера касается прямой PB в точке M , её центр O лежит в плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой PB . Аналогично докажем, что точка O лежит в плоскости, проходящей через точку N перпендикулярно прямой PD . Эти две плоскости пересекаются по прямой AC . Значит, точка O лежит на прямой AC . Обозначим KO = x , OA = OM = ON = R . Предположим, что точка O лежит между точками A и K . По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника KOB находим, что

OB2 = KO2 + KB2 = x2 + ,
а т.к. OM лежит в плоскости, перпендикулярной PB , то OM BM , поэтому
R2 = OM2 = OB2 - BM2 = x2 + - = x2 + .
С другой стороны,
R = OA = AK - KO = - x.
Из уравнения
x2 + = ( - x)2
находим, что x = . Если же точка O лежит на отрезке CK , то рассуждая аналогично, получим, что x < 0 , что невозможно. Далее находим:
= = = ,

S_{Δ OCD} = S_{Δ ADC} = · = .
Следовательно,
V_OPCD = S_{Δ OCD}· PK = · · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7301