Задача 87073

Темы:    [ Центр масс ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дана правильная треугольная пирамида PABC ( P – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b ( b > a ). Сфера лежит над плоскостью основания ABC , касается этой плоскости в точке A и, кроме того, касается бокового ребра PB . Найдите радиус сферы.

Решение

Поскольку сфера касается плоскости основания пирамиды в точке A , её центр O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC , проходящем через точку A . Пусть M – центр основания ABC . Тогда прямые OA и PM параллельны, т.к. они перпендикулярны плоскости ABC , значит, они лежат в одной плоскости. Пусть R – радиус сферы. Из вершины O трапеции OAMP опустим перпендикуляр OF на основание PM . Из прямоугольных треугольников APM и OFP находим, что

PM = = = ,

OP2 = OF2 + PF2 = AM2 + (PM - FM)2 = + ( - R)2 =

=R2 + b2 - 2R.
Пусть E – точка касания сферы с ребром BP . Тогда
OP2 = OE2 + PE2 = R2 + (PB - BE)2 = R2 + (PB - AB)2 = R2 + (b - a)2.
Из уравнения
R2 + b2 - 2R = R2 + (b - a)2
находим, что
R = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7302