ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87073
Темы:    [ Центр масс ]
[ Правильная пирамида ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана правильная треугольная пирамида PABC ( P – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b ( b > a ). Сфера лежит над плоскостью основания ABC , касается этой плоскости в точке A и, кроме того, касается бокового ребра PB . Найдите радиус сферы.

Решение

Поскольку сфера касается плоскости основания пирамиды в точке A , её центр O лежит на перпендикуляре к плоскости ABC , проходящем через точку A . Пусть M – центр основания ABC . Тогда прямые OA и PM параллельны, т.к. они перпендикулярны плоскости ABC , значит, они лежат в одной плоскости. Пусть R – радиус сферы. Из вершины O трапеции OAMP опустим перпендикуляр OF на основание PM . Из прямоугольных треугольников APM и OFP находим, что

PM = = = ,


OP2 = OF2 + PF2 = AM2 + (PM - FM)2 = + ( - R)2 =


=R2 + b2 - 2R.

Пусть E – точка касания сферы с ребром BP . Тогда
OP2 = OE2 + PE2 = R2 + (PB - BE)2 = R2 + (PB - AB)2 = R2 + (b - a)2.

Из уравнения
R2 + b2 - 2R = R2 + (b - a)2

находим, что
R = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7302

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .