Задача 87074

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами 1. Найдите периметр треугольника ABC , если известно, что AB = .

Решение

Пусть две взаимно перпендикулярные плоскости α и β пересекаются по прямой l (можно считать, что точка A лежит на этой прямой); B1 и C1 – ортогональные проекции точек B и C на плоскость α , B2 и C2 – на плоскость β ; M и N – ортогональные проекции точек B1 и C1 соответственно на прямую l . Из прямоугольного треугольника ABB2 находим, что

BB2 = = = .
Тогда B1M = BB2 = , поэтому в прямоугольном треугольнике AB1M катет B1M вдвое меньше гипотенузы AB1 . Значит,
B1AM = 30^o, C1AN = 180^o- B1AC1- B1AM = 180^o- 60^o- 30^o = 90^o,
поэтому точка N совпадает с точкой A и CC2 = C1A = 1 . Из прямоугольного треугольника ACC2 находим, что
AC = = = .
Рассмотрим прямоугольную трапецию BB2C2C . Опустим перпендикуляр BK из вершины B на основание CC2 . Тогда
BK = B2C2 = 1, CK = CC2 - KC2 = CC2 - BB2 = .
Из прямоугольного треугольника BCK находим, что
BC = = = .
Следовательно,
AC + AB + BC = + + = + .

Ответ

+ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7303