Задача 87075

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Теорема Пифагора в пространстве ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Каждое ребро треугольной пирамиды PABC равно 1; BD – высота треугольника ABC . Равносторонний треугольник BDE лежит в плоскости, образующей угол ϕ с ребром AC , причём точки P и E лежат по одну сторону от плоскости ABC . Найдите расстояние между точками P и E .

Решение

Поскольку все рёбра пирамиды PABC равны, это правильный тетраэдр. Пусть M – центр основания ABC , N – ортогональная проекция вершины E равностороннего треугольника BDE на плоскость ABC , K – середина BD , F – основание перпендикуляра, опущенного из точки E на высоту PM тетраэдра PABC . Так как EK BD , то по теореме о трёх перпендикулярах NK BD , поэтому EKN – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BDE , а т.к. NK || AC , то EKN = ϕ . Далее имеем:

BD = , MD = , KD = BD = , PM = ,

KM = KD - MD = - = ,

EK = BD· = , EN = EK sin ϕ = sin ϕ,

NK = EK cos ϕ = cos ϕ, MN2 = NK2 + KM2 = cos 2ϕ + ,

PE2 = EF2 + PF2 = MN2 + (PM - MF)2 = MN2 + (PM - EN)2 =

= cos 2ϕ + + ( - sin ϕ)2 =

= cos 2ϕ + + - sin ϕ + sin 2ϕ =

= + + - sin ϕ = - sin ϕ = - sin ϕ.
Следовательно,
PE = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7304