Задача 87078

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортоцентрический тетраэдр ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высота пирамиды ABCD , опущенная из вершины D , проходит через точку пересечения высот треугольника ABC . Кроме того, известно, что DB = b , DC = c , BDC = 90^o . Найдите отношение площадей граней ADB и ADC .

Решение

Пусть M – точка пересечения высот треугольника ABC , DM – высота пирамиды, а прямые BM и AC пересекаются в точке K . Тогда BK – высота треугольника ABC , а т.к. прямая BK – ортогональная проекция наклонной DB на плоскость основания ABC , то по теореме о трёх перпендикулярах DB AC . Значит, прямая DB перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и DC плоскости грани ACD . Поэтому ADB = 90^o . Аналогично, ADC = 90^circ . Следовательно,

= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7307