Задача 87090

Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Ребро PA пирамиды PABC перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 1. В треугольнике ABC угол при вершине A прямой, а каждый из катетов AB и AC равен 2. Точки M и N – середины AC и BC соответственно. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC .

Решение

Если r – радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC , S – полная поверхность этой пирамиды, а V – её объём, то r = . Поскольку MN – средняя линия треугольника ABC , то MN || AB , а т.к. AB – перпендикуляр к плоскости APC , то MN PM , поэтому PM – высота треугольника MPN . Значит,

S_{Δ PMN} = MN· PM = MN = · 1· = .
Заметим, что AN – высота треугольника ABC . Тогда
AN = = 2· = .
По теореме о трёх перпендикулярах PN BC , поэтому PN – высота треугольника BPC и
PN = = = ,

S_{Δ CPN} = S_{Δ BPC} = · BC· PN = · · 2· = .
Значит,
S = S_{Δ PMN} + S_{Δ CPN} + S_{Δ CPM} + S_{Δ CMN} =

= S_{Δ PMN} + S_{Δ CPN} + S_{Δ APC} + S_{Δ ABC} =

= + + · · 2· 1 + · · 2· 2 = + + + = ,
а так как
V = · V_PABC = V_PABC = · · · 2· 2· 1 = ,
то
r = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7409