Задача 87095

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольной пирамиде PABC боковое ребро PB перпендикулярно плоскости основания ABC и равно 12, AB = BC = 7 , AC = 4 . Сфера, центр O которой лежит на ребре AB , касется плоскостей граней PAC и PBC . Найдите расстояние от центра O до ребра PB .

Решение

Пусть M – середина AC . Тогда BM AC и PM AC , поэтому BMP – линейный угол двугранного угла между гранями ABC и APC . Обозначим BMP = α . Из прямоугольного треугольника AMB находим, что

BM = = = = 3,
поэтому
tg α = = = , cos α = , sin α = ,

PM = = 3· = 3.
Соединив центр O сферы с вершинами P и C пирамиды PABC , разобьём пирамиду PABC на две треугольные пирамиды с общей вершиной O и основаниями APC и BPC . Высота каждой из них, проведённая из вершины O , равна радиусу r сферы. Поэтому
V_PABC = S_{Δ APC}· r + S_{Δ BPC}· r = r(S_{Δ APC} + S_{Δ BPC}),
откуда
r = = = = .
Пусть сфера касается плоскости APC в точке F , а K – основание перпендикуляра, опущенного из центра O на ребро AC . По теореме о трёх перпендикулярах FK AC , а т.к. OKF = α , то
OK = = = = .
Из подобия треугольников AKO и AMB находим, что
OA = AB· = 7· = .
Следовательно,
OB = AB - OA = 7 - = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7414