Задача 87102

Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4 .

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 ( AA1 || BB1 || CC1 || DD1 ) – куб с ребром 1, M – произвольная точка пространства. Тогда диагонали AC1 , BD1 , CA1 и DB1 куба равны . Поэтому

MA + MC1 , MB + MD1 , MC + MA1 , MD + MB1 .
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
MA + MC1 + MB + MD1 + MC + MA1 + MD + MB1 4.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7421