Задача 87103

Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

Решение

Из очевидных неравенств

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 0, (a - c)2 = a2 - 2ac + c2 0, (b - c)2 = b2 - 2bc + c2 0
следуют неравенства
a2 + b2 2ab, a2 + c2 2ac, b2 + c2 2bc,
а т.к. d a + b + c , то
d2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (a2 + c2) + (b2 + c2) =

= 3(a2 + b2 + c2).
Следовательно,
a2 + b2 + c2 d2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7422