ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87103
Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Параллелепипеды ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a , b и c – стороны параллелепипеда, d – одна из его диагоналей. Докажите, что a2 + b2 + c2 d2 .

Решение

Из очевидных неравенств

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 0, (a - c)2 = a2 - 2ac + c2 0, (b - c)2 = b2 - 2bc + c2 0

следуют неравенства
a2 + b2 2ab, a2 + c2 2ac, b2 + c2 2bc,

а т.к. d a + b + c , то
d2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (a2 + c2) + (b2 + c2) =


= 3(a2 + b2 + c2).

Следовательно,
a2 + b2 + c2 d2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7422

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .