Задача 87105

Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

Решение

Пусть K – середина CD . На продолжении отрезка BK за точку K отложим отрезок KP , равный BK . Рассмотрим плоскость ABP . Отрезок MK – средняя линия треугольника ABP , поэтому MK = AP . Рассмотрим плоскость пересекающихся прямых BP и CD . Из равенства треугольников DKP и CKB следует, что DP = BC . Применяя неравенство треугольника к треугольнику ADP , получим, что

AP < AD + DP = AD + BC.
Следовательно,
MK = AP < (AD + BC).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7424