ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87105
Темы:    [ Длины и периметры (геометрические неравенства) ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В пространстве рассматриваются два отрезка AB и CD , не лежащие в одной плоскости. Пусть M и K – их середины. Докажите, что MK < (AD + BC) .

Решение

Пусть K – середина CD . На продолжении отрезка BK за точку K отложим отрезок KP , равный BK . Рассмотрим плоскость ABP . Отрезок MK – средняя линия треугольника ABP , поэтому MK = AP . Рассмотрим плоскость пересекающихся прямых BP и CD . Из равенства треугольников DKP и CKB следует, что DP = BC . Применяя неравенство треугольника к треугольнику ADP , получим, что

AP < AD + DP = AD + BC.

Следовательно,
MK = AP < (AD + BC).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7424

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .