Задача 87118

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из боковых граней имеет периметр 6. Найдите среди них параллелепипед с наибольшим объёмом и вычислите этот объём.

Решение

Обозначим через x сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно (6 - 2x) = 3 - x . Если V(x) – объём параллелепипеда, то

V(x) = x2(3 - x),
значит, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(x) = x2(3 - x) на интервале (0;3) .

Найдем критические точки функции V(x) = x2(3 - x) на интервале (0;3) . Для этого решим уравнение
V'(x) = (3x2 - x3)' = 6x - 3x2 = 3x(2 - x) = 0.
Интервалу (0;3) принадлежит единственный корень этого уравнения x = 2 . На этом интервале при x < 2 производная функции V(x) положительна, а при x > 2 – отрицательна, поэтому на промежутке (0;2) функция V(x) возрастает, а на промежутке (2;3) – убывает. Значит, x = 2 – точка максимума функции. Следовательно, V(2) = 4 – наибольшее значение объёма параллелепипеда.

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(x) = x2(3 - x) = 4· x· x· (3 - x)

4· ()3 = 4,
причём равенство достигается, если x = 3 - x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наибольшее значение объёма параллелепипеда равно 4.

Ответ

4.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7441