Задача 87119

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Правильная пирамида ] [ Сфера, вписанная в пирамиду ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса r , центры которых находятся на оси симметрии пирамиды. Один из шаров касается всех боковых граней пирамиды, а второй – основания пирамиды и первого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P ; M и N – середины сторон соответственно AD и BC основания ABCD . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , M и N , – равнобедренный треугольник PMN , основание MN которого равно стороне квадрата ABCD . Центры O1 и O2 касающихся окружностей радиуса r расположены на высоте PQ . Окружность с центром O1 вписана в угол MPN , а окружность с центром O2 касается основания MN в его середине Q . Пусть сторона квадрата ABCD равна a , высота пирамиды равна x , а окружность с центром O касается PN в точке F . Из подобия прямоугольных треугольников PFO1 и PQN следует, что

= , или = .
Из этого уравнения находим, что
a2 = .
Если V(x) – объём пирамиды PABCD , то
V(x) = S_ABCD· PQ = a2x = · .
Поскольку x > 4r , задача сводится к нахождению на промежутке (4r; + ) такого значения x , для которого функция V(x ) принимает на этом промежутке наименьшее значение. Решив уравнение V'(x) = 0 , найдём критические точки функции V(x) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (4r;+) .
V'(x) = r· =

= r· = r· = 0.
Промежутку (4r;+) принадлежит единственный корень этого уравнения x = (6 + 2)r . При переходе через точку x = (6 + 2)r производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (4r;(6 +2)r) функция V(x) убывает, а на промежутке ((6 + 2)r; +) – возрастает. Следовательно, при x = (6 + 2)r объём пирамиды PABCD – наименьший.

Ответ

(6 + 2)r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7442