ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87121
Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Цилиндр ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R .

Решение

Пусть h – высота цилиндра, r – радиус его основания (рис.1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O (рис.2). В сечении получится окружность радиуса R , в которую вписан прямоугольник ABCD со сторонами AD = BC = 2r , AB = CD = h и диагональю AC=2R , причём центр O окружности совпадает с центром прямоугольника ABCD . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

4r2 = AD2 = AC2 - CD2 = 4R2 - h2.

Пусть V(h) – объём цилиндра. Тогда
V(h) = π r2h = π h(4R2 - h2).

Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π h(4R2 - h2) на интервале (0;2R) . Решив уравнение V'(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R) .
V'(h) = (π h(4R2 - h2))' = π(4R2h - h3)' = π (R2 - h2).

Промежутку (0;2R) принадлежит единственный корень этого уравнения h = . При переходе через точку h = производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке (0;) функция V(h) возрастает, а на промежутке (; 2R) – убывает. Следовательно, при h = объём цилиндра –наибольший. При этом
r = = = R.


Ответ

; R .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7444

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .