Задача 87122

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания ABC правильной пирамиды PABC равна a , боковое ребро равно b . На каком расстоянии от прямой BC следует провести сечение пирамиды, параллельное рёбрам BC и PA , чтобы площадь его была наибольшей из возможных?

Решение

Пусть секущая плоскость пересекает ребро AB в точке K . Плоскость ABC проходит через прямую BC , параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K . Значит, эти плоскости пересекаются по прямой l , параллельной BC и проходящей через точку K . Если прямая l пересекает ребро AC в точке N , то KN || BC . Аналогично, секущая плоскость пересекает плоскость грани ABP по прямой, параллельной AP , плоскость грани BPC – по прямой, параллельной BC , плоскость грани APC – по прямой, параллельной AP . Пусть L , M и N – точки пересечения секущей плоскости с рёбрами BP , PC и AC соответственно. Тогда KLMN – параллелограмм, а т.к. пирамида PABC правильная, то AP BC , поэтому KLMN – прямоугольник. Обозначим = x (0 x 1) . Тогда

MN = KL = x· AP = bx,

LM = KN = BC· = (1 - x)BC = a(1 - x),
поэтому
S_KLMN = KL· KN = ab· x(1 - x) = ab ( - + x - x2) =

= ab ( - (x - )2) ab,
причём равенство достигается в случае, когда x = . Пусть Q – середина BC , а отрезки PQ и AQ пересекают LM и KN в точках E и F соответственно. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APQ . Поскольку
= = = ,
отрезок EF – средняя линия треугольника APQ . Значит, искомое расстояние d равно половине высоты QH треугольника APQ . Если O – центр равностороннего треугольника ABC , то
AO = AQ = , OP = = ,
а т.к. AQ· OP = AP· QH , то
QH = = = · .
Следовательно,
d = QH = · .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7445