Задача 87124

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Конус ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Конус описан около куба следующим образом: четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины – на его боковой поверхности. Какой наименьший объём может иметь такой конус, если ребро куба равно a ?

Решение

Пусть вершины A , B , C , D куба ABCDA1B1C1D1 (рис.1) лежат на боковой поверхности конуса с вершиной P , а вершины A1 , B1 , C1 , D1 – в плоскости основания ( AA1 || BB1 || CC1 || DD1 ). Проведём осевое сечение конуса, проходящее через вершины A и C куба. Получим равнобедренный треугольник PMN (рис.2), в который вписан прямоугольник ACC1A1 , вершины A и C которого лежат на боковых сторонах PM и PN соответственно, а вершины A1 и C1 – на основании MN , причём CC1 = AA1 = a , A1C1 = AC = a . Пусть PO = h – высота конуса, OM = ON = r – радиус его основания. Из подобия треугольников APC и MPN следует, что

= , или = ,
откуда находим, что r = . Обозначим через V(h) объём конуса. Тогда
V(h) = π r2h = π a2· .
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h) = π a2· на луче (a; +) . Решив уравнение V'(h) = 0 , найдём критические точки функции V(h) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (a; +) .
V'(h) = π a2()' = π a2 =

= π a2 = π a2 = 0.
Промежутку (a; +) принадлежит единственный корень этого уравнения h = 3a . При переходе через точку h = 3a производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (0; 3a) функция V(h) убывает, а на промежутке (3a; +) – возрастает. Следовательно, при h = 3a объём конуса наименьший. При этом
V(3a) = π a2· = π a3.

Ответ

π a3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7447