Условие
Конус описан около куба следующим образом: четыре вершины куба
лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины –
на его боковой поверхности. Какой наименьший объём может иметь
такой конус, если ребро куба равно $a$?
Решение
Пусть вершины $A$, $B$, $C$, $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежат
на боковой поверхности конуса с вершиной $P$, а вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ – в плоскости основания ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$). Проведём осевое сечение конуса, проходящее через вершины $A$ и $C$ куба. Получим равнобедренный треугольник $PMN$, в который вписан прямоугольник $ACC_1A_1$, вершины $A$ и $C$ которого лежат на боковых сторонах $PM$ и $PN$ соответственно, а вершины $A_1$ и $C_1$ – на основании $MN$, причём $CC_1 = AA_1 = a$, $A_1C_1 = AC = a \sqrt{2}$.
Пусть $PO = h$ – высота конуса, $OM = ON = r$ – радиус его
основания. Из подобия треугольников $APC$ и $MPN$ следует, что
$$\frac{PO}{MN} = \frac{PO-AA_1}{AC}, \text{ или } \frac{h}{2r}=\frac{h-a}{a \sqrt{2}},$$
откуда находим, что $r = \frac{ah \sqrt{2}}{2(h-a)}$. Обозначим через $V(h)$ объём конуса. Тогда
$$V(h) = \frac13 \pi r^2 h = \frac16 \pi a^2 \cdot \frac{h^3}{(h-a)^2}.$$
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения
функции $V(h) = \frac16 \pi a^2 \cdot \frac{h^3}{(h-a)^2}$ на луче
$(a; +\infty)$.
Решив уравнение $V'(h) = 0$, найдём критические точки функции $V(h)$. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку $(a; +\infty)$.
$$
V'(h) = \frac16 \pi a^2 \, \left(\frac{h^3}{(h-a)^2}\right)' =
\frac16 \pi a^2 \, \frac{3h^2 (h-a)^2 - 2h^3 (h-a)}{(h-a)^4} =$$
$$= \frac16 \pi a^2 \, \frac{h^2 (3(h-a) - 2h)}{(h-a)^3} = \frac16 \pi a^2 \, \frac{h^2 (h-3a)}{(h-a)^3}.$$
Промежутку $(a; +\infty)$ принадлежит единственный корень этого уравнения
$h = 3$. При переходе через точку $h = 3a$ производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке $(0; 3a)$ функция $V(h)$ убывает, а на промежутке $(3a; +\infty)$ – возрастает. Следовательно, при $h = 3a$ объём конуса наименьший. При этом
$$V(3a) = \frac16 \pi a^2 \cdot \frac{(3a)^3}{(3a-a)^2}=\frac98 \pi a^3.$$
Ответ
$\frac98 \pi a^3.$
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7447 |
