ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87126
Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около шара объёма V описана правильная треугольная пирамида. Каков наименьший возможный объём этой пирамиды?

Решение

Пусть шар с центром O и радиусом r вписан в правильную треугольную пирамиду ABCD с вершиной D (рис.1). Тогда M точка касания шара с плоскостью основания – центр равностороннего треугольника ABC , а точка E касания шара с плоскостью боковой грани ABD лежит на апофеме DK пирамиды. Пусть a – сторона основания ABC , α – угол боковой грани с плоскостью основания, h – высота пирамиды. Проведём сечение через точки D , K и C (рис.2). Точки O , M , K , E принадлежат этому сечению. Поскольку окружность с центром O и радиусом r вписана в угол DKC , луч KO – биссектриса этого угла, значит,

KM = = , CK = 3KM = ,


BK = CK tg 30o = , a = AB = 2BK = ,


SΔ ABC = a2 = · ()2· = ,


h = DM = KM tg DKM = · tg α = · = .

Обозначим tg = t и запишем объём пирамиды ABCD как функцию от t .
V(t) = SΔ ABC· DM = ·· = = =


= = 8r3,

причём равенство достигается при t = . Из равенства V = π r3 находим, что r3 = . Следовательно, наименьший объём пирамиды ABCD равен
8r3 = 8· = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7449

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .