Задача 87127

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Периметр равнобедренного треугольника равен P . Каковы должны быть его стороны, чтобы объём фигуры, полученной вращением этого треугольника вокруг основания, был наибольшим?

Решение

Пусть ABC – равнобедренный треугольник с основанием BC . Фигура, полученная вращением этого треугольника вокруг основания BC , есть объединение двух равных конусов, образующая каждого из которых равна боковой стороне треугольника ABC , а радиус основания – высоте AK этого треугольника. Пусть AC = x . Тогда

BC = P - 2x, CK = BC = P - x,

AK2 = AC2 - CK2 = x2 - (P - x)2 = Px - P2.
Запишем объём полученной фигуры вращения как функцию от x на интервале (P; P) .
V(x) = 2· π · AK2· CK = π (Px - P2)(P - x) =

= π P(x - P)(P - x) π P ( (x - P + P - x))2 =

= π P(· P)2 = ,
причём равенство достигается, если x - P = P - x , т.е. при x = P . В этом случае BC = P - 2x = P .

Ответ

P , P , P .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7450