|
|
 |
Условие
Сфера радиуса r касается всех рёбер треугольной пирамиды.
Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида
правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы
удален от вершины пирамиды на расстояние r .
Решение
Пусть указанная сфера с центром O , расположенным на высоте PQ
треугольной пирамиды PABC с вершиной P , касается рёбер AB , BC ,
AC , PA , PB и PC в точках K , L , M , D , E и F
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников PDO ,
PEO и PFO (по катету и гипотенузе) следует равенство углов OPD ,
OPE и OPF . Значит, прямоугольные треугольники APQ , BPQ и CPQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому QA = QB = QC ,
т.е. Q – центр окружности, описанной около треугольника ABC .
Прямоугольные треугольники OQK , OQL и OQM также равны по
катету и гипотенузе, поэтому QK = QL = QM . Поскольку прямая AB
касается сферы в точке K , OK AB . Тогда по теореме о трёх
перпендикулярах QK
AB . Аналогично, QL
BC и QM
AC .
Значит Q – центр окружности, вписанной в треугольник ABC .
Поскольку центры вписанной и описанной окружностей
треугольника ABC совпадают, треугольник ABC – равносторонний.
Высота пирамиды PABC проходит через центр основания, поэтому
пирамида PABC правильная, причём угол между её высотой и боковым
ребром равен углу между высотой и ребром правильного тетраэдра,
т.е. arcsin
. Следовательно, PABC – правильный тетраэдр,
а точка O – его центр. Поэтому
Ответ
r
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7503 |
