Задача 87133

Темы:    [ Цилиндр ] [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Радиус основания цилиндра равен равен r , а высота равна 5r . Около цилиндра описан параллелепипед, отношение объёма которого к объёму цилиндра равно . Найдите длину отрезка большей диагонали параллелепипеда, лежащего внутри цилиндра.

Решение

Пусть параллелепипед ABCDA1B1C1D1 описан около цилиндра (рис.1). Тогда параллелепипед – прямой, окружность одного основания цилиндра вписана в основание ABCD параллелепипеда, а окружность второго основания – в основание A1B1C1D1 . Поскольку в параллелограммы ABCD и A1B1C1D1 вписаны окружности, эти параллелограммы – ромбы. Если AC и A1C1 – большие диагонали этих ромбов, то AC1 и A1C – большие диагонали параллелепипеда. Поскольку высоты цилиндра и параллелепипеда равны, площади оснований параллелепипеда и цилиндра относятся как их объемы, а т.к. радиус окружности, вписанной в ромб, равен r , то площадь ромба равна его полупериметру, умноженному на r . Если a – сторона ромба, то

= = ,
откуда находим, что a = r . Пусть окружность с центром O , вписанная в ромб ABCD , касается стороны AB в точке F , а K – середина AB (рис.2). Обозначим OKB = α . Тогда
sin α = = = , cos α = ,

sin OAB = sin = = ,
поэтому
OA = = r, AC = 2OA = 2r,

tg CAC1 = = = , cos CAC1 = .
Рассмотрим плоскость ACC1A1 (рис.3). Центры O и O1 окружностей, вписанных в ромбы ABCD и A1B1C1D1 , – середины сторон AC и A1C1 прямоугольника ACC1A1 . Пусть M и N – точки пересечения первой окружности с отрезком AC , а M1 и N1 – второй окружности с отрезком A1C1 , причём MM1 || NN1 . Пусть диагональ AC1 пересекает отрезки MM1 и NN1 в точках P и Q соответственно. Опустим перпендикуляр PH из точки P на NN1 . Тогда
PQ = = = = 3r.

Ответ

3r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7504