Задача 87134

Темы:    [ Конус ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Конус с вершиной S вписан в треугольную пирамиду SPQR , причём окружность основания конуса вписана в основание PQR пирамиды. Известно, что PSR = 90^o , SQR = 45^o , PSQ = 105^o . Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания PQR .

Решение

Пусть окружность (с центром O ) основания конуса касается сторон PQ , QR и PR треугольника PQR в точках K , L и M соответственно. Тогда SK , SL и SM – образующие конуса. Обозначим

SK = SL = SM = a, OK = OL = OM = r.
По теореме о трёх перпендикулярах SK PQ , SL QR , SM PR . Значит, SK , SL и SM – высоты треугольников PSQ , QSR и PSR . Далее имеем:
QK = QL = SL = a, SQK = SQR = 45^o, KSQ = 90^o - SQK = 45^o,

KSP = PSQ - KSQ = 105^o - 45^o = 60^o,

SPK = 90^o - KSP = 90^o - 60^o = 30^o, PK = SK tg 60^o = a,

PM = PK = a, SPR = SPQ = 30^o,

SRP = 90^o - SPR = 90^o - 30^o = 60^o,

RM = SM ctg 60^o = , RL = RM = .
Значит, полупериметр треугольника PQR равен a + a + , его площадь равна (a + a + )r , а т.к. площадь боковой поверхности конуса равна π ar , то искомое отношение равно
= = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7505