Задача 87141

Темы:    [ Конус ] [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной пирамиде PABC сторона основания ABC равна a , боковое ребро – 2a . Точки P , B и C лежат на боковой поверхности конуса, имеющего вершину в точке A . Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение

На продолжении рёбер AB и AC за точки B и C отложим отрезки сооответственно BM и CN , равные a . Тогда AP = AM = AN = 2a , поэтому точки P , M и N лежат на окружности основания конуса с вершиной A и образующей 2a . Окружность основания этого конуса описана около треугольника MNP . Пусть r – её радиус. Обозначим PM = PN = x . В треугольнике APM по формуле для медианы

4PB2 = 2PA2 + 2PM2 - AM2, или16a2 = 8a2 + 2x2 - 4a2,
откуда x = a . Поскольку BC – средняя линия треугольника, MN = 2BC = 2a . Если PK – высота равнобедренного треугольника MPN , то
PK = = = a,

sin PMN = = .
Поэтому
r = = = .
Пусть AO – высота конуса, α – угол при вершине осевого сечения. Тогда
sin = = = = .

Ответ

2 arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7512