Задача 87142

Темы:    [ Цилиндр ] [ Правильная пирамида ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Все вершины правильной пирамиды PABCD лежат на боковой поверхности цилиндра, ось которого перпердикулярна плоскости PAB . Найдите радиус основания цилиндра, если AB = a .

Решение

Поскольку ось цилиндра перпендикулярна плоскости грани ABP , ортогональная проекция цилиндра на плоскость грани ABP есть окружность, радиус которой равен радиусу основания цилиндра. На этой окружности лежат точки A , B и P , а также ортогональные проекции C1 и D1 вершин C и D пирамиды PABCD , а т.к. CD параллельно плоскости ABP , то C1D1 = CD = AB и C1D1 || CD || AB , значит ABC1D1 – прямоугольник. Его центр O1 – совпадает с центром окружности. Поэтому O1A = O1B = O1P . С другой стороны, точка O1 – ортогональная проекция центра O квадрата ABCD , поэтому O1A , O1B и O1P – ортогональные проекции отрезков OA , OB и OP на плоскость ABP , значит, OP = OA = OB = . Следовательно, AP = BP = AB = a , а радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной a , равен .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7513