Задача 87143

Тема:    [ Правильная пирамида ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания равна a , боковое ребро равно a . Одно основание цилиндра лежит в плоскости PAB , другое вписано в сечение пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение

Пусть плоскость сечения пересекает рёбра AD , PD , PC и BC правильной пирамиды PABCD в точках K , L , M и N соответственно (рис.1). Тогда по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей KN || AB , KL || AP , MN || BP . Обозначим = x . Тогда

= = 1 - x,
поэтому LM || CD и стороны равнобедренной трапеции KLMN равны:
KN = AB = a, MN = KL = x· AP = ax, LM = (1 - x)CD = (1 - x)a.
Поскольку в трапецию KLMN можно вписать окружность (основание цилиндра),
KL + MN = KN + LM, или 5ax = a + (1 - x)a,
откуда находим, что x = . Пусть r – радиус основания цилиндра. Тогда r – радиус окружности, вписанной в трапецию KLMN с основаниями a , a и боковыми сторонами, равными a . Если MF – высота трапеции, то
FN = (KN - LM) = (a - a) = a,

MF = = = a.
Следовательно, r = MF = a . Для нахождения высоты цилиндра рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину P и середины G и H рёбер AB и CD (рис.2). Из треугольника APB находим, что
PG = = = a.
Если E – точка касания окружности основания цилиндра с прямой KN , то перпендикуляр ET , опущенный из точки E на прямую PG , равен высоте цилиндра. Пусть HR – высота равнобедренного треугольника PGH , проведённая к боковой стороне, а PQ – высота, проведённая к его основанию. Тогда
PQ = = = ,

HR = = = , ET = HR = .
Следовательно, боковая поверхность цилиндра равна
2π r· ET = 2π · a· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7514