|
|
 |
Условие
Высота цилиндра равна 3r . Внутри цилиндра расположены три сферы радиуса r , причём каждая сфера касается двух других и боковой поверхности цилиндра. Две сферы касаются нижнего основания цилиндра, а третья сфера – верхнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.Решение
Пусть $R$ – радиус основания цилиндра, $h$ – его высота, $O_1$ – центр сферы, касающейся верхнего основания цилиндра, $O_2$ и $O_3$ – центры сфер, касающихся нижнего основания (рис.1).
Опустим перпендикуляр$O_1P$ на плоскость, проходящую через точки $O_2$ и $O_3$ перпендикулярно оси цилиндра. В треугольной пирамиде $O_1O_2O_3P$ известно, что $$O_1O_2 = O_2O_3 = O_1O_3 = 2r, \quad O_1P = h - 2 r = 3 r - 2 r = r, $$ $$O_3P = O_2P = \sqrt{O_2O_1^2-O_1P^2} = \sqrt{4r^2-r^2} = r \sqrt{3}. $$ Пусть $A$, $B$ и $C$ – ортогональные проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O_3$ на плоскость основания цилиндра, $O$ – центр этого основания (рис.2).
Тогда $$OA = OB = OC = R - r,$$ $$BC = 2r, AB = O_2P = r \sqrt{3}, \quad AC = O_3P = r \sqrt{3}.$$ Если $M$ – середина $BC$, то $$ AM = \sqrt{AB^2-BM^2} = \sqrt{3r^2-r^2} = r\sqrt{2}, \quad \sin \angle ABC = \frac{AM}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}},$$ а т.к. $OA$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, то $$R - r = OA = \frac{AC}{2 \sin \angle ABC} = \frac{(r \sqrt{3}) / (2 \sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{3r \sqrt{2}}{4}.$$ Следовательно, $$R = r + \frac{3r\sqrt{2}}{4} = \frac{r (3\sqrt{2}+4)}{4}.$$
Ответ
$\frac{r (3\sqrt{2}+4)}{4}.$Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| номер | |
| Номер | 7516 |
