Задача 87148

Темы:    [ Цилиндр ] [ Правильный тетраэдр ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра, а другие вершины – на боковой поверхности цилиндра. Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания цилиндра равен R .

Решение

Пусть вершина A правильного тетраэдра ABCD расположена на оси цилиндра, а вершины B , C и D – на его боковой поверхности. Рассмотрим ортогональные проекции B1 , C1 и D1 точек соответственно B , C и D на ось цилиндра. Из равенства прямоугольных треугольников ABB1 , ACC1 и ADD1 следует равенство отрезков AB1 , AC1 и AD1 , расположенных на оси цилиндра. Поэтому либо точки B1 , C1 и D1 совпадают, либо две из них совпадают, а третья симметрична им относительно вершины A . В первом случае (рис.1) плоскость, проходящая через вершины B , C и D , лежащие на боковой поверхности цилиндра, перпендикулярна оси. Тогда равносторонний треугольник BCD вписан в окружность радиуса R . Следовательно, его сторона равна R . Во втором случае (рис.2) только одна сторона равностороннего треугольника BCD перпендикулярна оси конуса. Предположим, что это сторона BC . Обозначим через a ребро тетраэдра. Пусть K – середина BC , P – точка пересечения прямой B1K с образующей цилиндра, проходящей через точку D (рис.3). Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку D . Получим прямоугольник DD1B1P , в который вписан равнобедренный треугольник ADK , причём A – середина B1D1 ,

DD1 = B1P = R, AD = a, AK = DK = .
Из прямоугольных треугольников AD1D , AB1K и DPK находим, что
AD1 = = ,

B1K = = = = ,

KP = = =

= = ,
а т.к. B1P = B1K + KP , получим уравнение
R = + ,
из которого находим, что a = .

Ответ

R ; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7519