|
|
 |
Условие
Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси
цилиндра, а другие вершины – на боковой поверхности цилиндра.
Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания цилиндра равен
R .
Решение
Пусть вершина A правильного тетраэдра ABCD расположена на оси
цилиндра, а вершины B , C и D – на его боковой поверхности.
Рассмотрим ортогональные проекции B1 , C1 и D1 точек
соответственно B , C и D на ось цилиндра. Из равенства прямоугольных
треугольников ABB1 , ACC1 и ADD1 следует
равенство отрезков AB1 , AC1 и AD1 , расположенных на оси
цилиндра. Поэтому либо точки B1 , C1 и D1 совпадают, либо
две из них совпадают, а третья симметрична им относительно вершины A .
В первом случае (рис.1) плоскость, проходящая через вершины B , C и D ,
лежащие на боковой поверхности цилиндра, перпендикулярна оси. Тогда
равносторонний треугольник BCD вписан в окружность радиуса R .
Следовательно, его сторона равна R .
Во втором случае (рис.2) только одна сторона равностороннего
треугольника BCD перпендикулярна оси конуса. Предположим, что это
сторона BC . Обозначим через a ребро тетраэдра. Пусть K – середина
BC , P – точка пересечения прямой B1K с образующей цилиндра,
проходящей через точку D (рис.3). Рассмотрим осевое сечение цилиндра,
проходящее через точку D . Получим прямоугольник DD1B1P , в который
вписан равнобедренный треугольник ADK , причём A – середина B1D1 ,
Из прямоугольных треугольников AD1D , AB1K и DPK находим, что
а т.к. B1P = B1K + KP , получим уравнение
из которого находим, что a =
Ответ
R ;
.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7519 |
