Задача 87149

Темы:    [ Конус ] [ Правильная пирамида ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Вершина A основания ABCD правильной пирамиды PABCD совпадает с вершиной конуса, вершины B , D лежат на его боковой поверхности, вершина P – на окружности основания конуса, а вершина C – в плоскости его основания. Найдите отношение объёма конуса к объему пирамиды.

Решение

Поскольку AB = AD и точки B и D лежат на боковой поверхности конуса, прямая BD параллельна плоскости основания конуса, поэтому прямая пересечения плоскости ABD с плоскостью основания конуса параллельна BD и проходит через точку C . Пусть M и N – точки пересечения этой прямой с продолжениями AB и AD соответственно. Тогда AM и AN – образующие конуса, а BD – средняя линия треугольника AMN . Обозначим AB = a . Тогда

PB = PD = AP = AM = AN = 2a, MN = 2BD = 2a.
Так как PB – медиана треугольника APM , то по формуле для медианы треугольника
4PB2 = 2AP2 + 2PM2 - AM2,
откуда
PM2 = (4PB2 - 2AP2 + AM2) = (16a2 - 8a2 + 4a2) = 6a2,
значит, PM = a . Аналогично, PN = a . Пусть r – радиус основания конуса, h – высота конуса, Тогда r – радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника MPN со сторонами a , a и 2a . Если PMN = α , то
cos α = = , sin α = ,
поэтому
r = = = a, h = = = .
Пусть V1 – объём конуса, V2 – объём пирамиды. Тогда
V1 = π r2h = π · · = ,

V2 = a2· = a2· = .
Следовательно,
= = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7520