Задача 87150

Темы:    [ Конус ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Через ребро BC треугольной пирамиды PABC и точку M , середину ребра PA , проведено сечение BCM . Вершина конуса совпадает с вершиной P пирамиды, а окружность основания вписана в треугольник BCM , касаясь стороны BC в её середине. Точки касания окружности с отрезками BM и CM являются точками пересечения медиан граней APB и APC . Высота конуса в два раза больше радиуса основания. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади основания пирамиды.

Решение

Пусть E и D – точки пересечения медиан треугольников APB и APC , K – середина BC , O – центр окружности, вписанной в треугольник BMC , r – радиус основания конуса, 2r – его высота. Тогда

PD = PE = PK = = r.
Обозначим ME = MD = x . Тогда BK = BE = 2x , CK = DC = 2x , поэтому треугольник BMC – равнобедренный. Тогда
MK = = x.
Если p – полупериметр треугольника, а S – его площадь, то
S = pr = 5xr, S = BC· MK = 2x2,
откуда находим, что x = . Пусть PF – медиана треугольника APB . Поскольку OE BM , то по теореме о трёх перпендикулярах PF BM , поэтому
S_{Δ APB} = 2S_{Δ BMP} = 2· MB· PE = 3x· r = 3r· · r = .
Аналогично, S_{Δ APC} = . Кроме того
S_{Δ BPC} = BC· PK = 2x· r = r· r = 5r2.
Поэтому боковая поверхность пирамиды PABC равна 20r2 . Из прямоугольного треугольника BEF находим, что
BF = = =

= = = r.
AB = 2BF = 5r . Аналогично, AC = 5r . Тогда
AK = = = 2r,

S_{Δ ABC} = BC· AK = 2x· 2r = r· 2r = 10r2.
Следовательно, искомое отношение равно 2.

Ответ

2.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7521