Задача 87151

Темы:    [ Конус ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

Решение

Пусть O1 , O2 и O3 (рис.1) – центры сфер, O – центр окружности основания конуса, R – её радиус, A , B и C – ортогональные проекции точек O1 , O2 и O3 на плоскость основания конуса (рис.2). Тогда O – центр равностороннего треугольника ABC , со стороной 2. Поэтому

OA = OB = OC = .
Проведём плоскость через ось конуса и параллельный ей радиус O1A одной из сфер (рис.3). Получим окружность радиуса 1, вписанную в угол с вершиной D , равный 60^o . Тогда
AD = AO1 ctg 30^o = .
Следовательно,
R = OD = OA + AD = + = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7522