Условие
Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого конуса
является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого
конуса равен
arccos 
, а второго –
120
o .
Найдите угол между образующими, по которым пересекаются боковые
поверхности конусов.
Решение
Поскольку
120
o > arccos , высота первого конуса
находится внутри второго (рис.1). Пусть
A – общая вершина конусов,
O –
центр основания второго конуса,
AO = 1
,
AM и
AN – общие образующие
конусов.
Через прямую
MN проведём плоскость, перпендикулярную высоте
первого конуса и пересекающую её в точке
Q . Тогда
Q – центр
основания конуса, гомотетичного первому конусу относительно точки
A и
AM = AN = 
= 2
.
Из прямоугольного треугольника
AQM находим, что
AQ = AM cos 
QAM = 2 cos (
arccos ) =
.
Пусть
P – середина отрезка
MN . Тогда точки
O ,
A ,
Q и
P лежат
в одной плоскости (рис.2), а т.к.
AOP = AQP = 90
o , то эти
точки лежат на окружности с диаметром
AP . Следовательно,
AP = 
.
Пусть
K – точка на продолжении отрезка
AO за точку
O , причём
OK=AO=1
. Тогда
QO – медиана прямоугольного треугольника
AQK ,
проведённая из вершины прямого угла. Значит,
OQ=AK = 1
.
Поэтому
AP = 
= 
.
Следовательно,
MAP = 30
o и
MAN = 60
o .
Ответ
60
o .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7535 |
