Задача 87210

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 , в котором AB =4 , AD = 2 , AA1 = 6 . Точка N – середина ребра CD , точка M расположена на ребре CC1 , причём C1M:CM = 1:2 , K – точка пересечения диагоналей грани AA1D1D . Найдите угол между прямыми KM и A1N .

Решение

Обозначим AD = x , AB = y , AA1 = z , = , = , = , x = 2, y = 4 , z = 6 . Тогда

= ++, = + - .
Если α – угол между векторами и , то
cos α = = =

= =

= = = .
Пусть ϕ – угол между прямыми KM и A1N . Тогда
cos ϕ = | cos α | = .
Следовательно, α = arccos .

Ответ

arccos .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7600