Задача 87213

Темы:    [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан тетраэдр ABCD , в котором AB = BD = 3 , AC = CD = 5 , AD = BC = 4 . Найдите AM , где M – точка пересечения медиан грани BCD .

Решение

Поскольку M – точка пересечения медиан треугольника BCD ,

= ( + + ),
поэтому
2 = ( + +)2 =

= (AB2 + AC2 + AD2 + 2· + 2· + 2· ).
Из равенства = - следует, что
BD2 = AD2 - 2· + AB2,
откуда находим, что
2· = AD2 + AB2 - BD2 = 16 + 9 - 9 = 16.
Аналогично,
= - , BC2 = AC2 - 2· · + AB2,

= - , AC2 = DC2 - 2· + AD2,
откуда
2· = AC2 + AB2 - BC2 = 25 + 9 - 16 = 18,

2· = AC2 + AD2 - DC2 = 25 + 16 - 25 = 16.
Следовательно,
2 = (AB2 + AC2 + AD2 + 2· + 2· + 2· ) =

= (9 + 16 + 25 + 16 + 18 + 16) = · 100 AM = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7603