ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87213
Темы:    [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан тетраэдр ABCD , в котором AB = BD = 3 , AC = CD = 5 , AD = BC = 4 . Найдите AM , где M – точка пересечения медиан грани BCD .

Решение

Поскольку M – точка пересечения медиан треугольника BCD ,

= ( + + ),

поэтому
2 = ( + +)2 =


= (AB2 + AC2 + AD2 + 2· + 2· + 2· ).

Из равенства = - следует, что
BD2 = AD2 - 2· + AB2,

откуда находим, что
2· = AD2 + AB2 - BD2 = 16 + 9 - 9 = 16.

Аналогично,
= - , BC2 = AC2 - 2· · + AB2,


= - , AC2 = DC2 - 2· + AD2,

откуда
2· = AC2 + AB2 - BC2 = 25 + 9 - 16 = 18,


2· = AC2 + AD2 - DC2 = 25 + 16 - 25 = 16.

Следовательно,
2 = (AB2 + AC2 + AD2 + 2· + 2· + 2· ) =


= (9 + 16 + 25 + 16 + 18 + 16) = · 100 AM = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7603

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .