Задача 87218

Темы:    [ Задачи на максимум и минимум (прочее) ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объём каждого из которых равен 4, а основания являются квадратами. Найдите среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислите этот периметр.

Решение

Обозначим через x сторону основания прямоугольного параллелепипеда. Тогда его боковое ребро равно Если P(x) – периметр боковой грани параллелепипеда, то

P(x) = + 2x,
значит, задача сводится к нахождению наименьшего значения функции P(x) = + 2x на луче (0; +) .

Найдём критические точки функции P(x) = + 2x на луче (0;+) .
P'(x) = - + 2 = = 0.
Лучу (0; +) принадлежит единственный корень этого уравнения x = 2 . На этом луче при x < 2 производная функции P(x) отрицательна, а при x > 2 – положительна, поэтому на промежутке (0;2) функция P(x) убывает, а на промежутке (2; +) – возрастает. Значит, x = 2 – точка минимума функции. Следовательно, P(2) = 6 – наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда.

Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
P(x) = + 2x = + x + x 3 = 6,
причём равенство достигается, если = x , т.е. при x = 2 . Следовательно, наименьшее значение периметра боковой грани параллелепипеда равно 6.

Ответ

Параллелепипед, сторона основания которого равна 2, боковое ребро равно 1; искомый периметр равен 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7610