Задача 87221

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Касающиеся сферы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде расположены два одинаковых шара радиуса r , касающиеся основания пирамиды в точках, принадлежащих отрезку, соединяющему середины противоположных сторон основания. Каждый из шаров касается боковой грани пирамиды и другого шара. Найдите высоту пирамиды, при которой объём пирамиды наименьший.

Решение

Пусть PABCD – правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P (рис.1); M и N – середины сторон соответственно AD и BC основания ABCD . Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P , M и N , – равнобедренный треугольник PMN , основание MN которого равно стороне квадрата ABCD (рис.2). Окружности радиуса r касаются высоты PQ в одной и той же точке K . Окружность с центром O1 вписана в угол PMN , а окружность с центром O2 – в угол PNM . Пусть сторона квадрата ABCD равна a , высота пирамиды равна x , а окружность с центром O1 касается MN в точке F . Положим PMN = PNM = 2α . Тогда O1MF = α . Из прямоугольных треугольников PMQ и O1MF находим, что

tg 2α= = , tg α = = .
Применив формулу tg 2α = , получим уравнение
= ,
откуда находим, что
a = .
Если V(x) – объём пирамиды PABCD , то
V(x) = S_ABCD· PQ = a2· x = · .
Поскольку x > 2r , задача сводится к нахождению на промежутке (2r; +) такого значения x , для которого функция V(x) принимает на этом промежутке наименьшее значение. Решив уравнение V'(x) = 0 , найдём критические точки функции V(x) . Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (2r; +) .
V'(x) = · .
Промежутку (2r; +) принадлежит единственный корень этого уравнения x = . При переходе через точку x = производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (2r; ) функция V(x) убывает, а на промежутке (; +) – возрастает. Следовательно, при x = объём пирамиды PABCD наименьший.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7613