|
|
 |
Условие
Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Решение
Определение.}Говорят, что прямая перпендикулярна плоскости, если она
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.
Пусть прямая h перпендикулярна пересекающимся прямым a и b
плоскости α . Докажем, что прямая h перпендикулярна произвольной
прямой c этой плоскости, непараллельной прямым a и b .
Через точку A пересечения прямой h с плоскостью α проведём
прямые AB , AC и AD , соответственно параллельные прямым a , b
и c . Обозначим через P точку пересечения прямых AD и BC . На
прямой h отложим по разные стороны от плоскости α равные отрезки
AM и AN .
Прямоугольные треугольники MAC и NAC равны по двум катетам.
Аналогично, равны прямоугольные треугольники MAB и NAB .
Значит, треугольники BMC и BNC равны по трём сторонам.
Следовательно, MCB =
NCB . Тогда треугольники MCD и
NCD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MD = ND , а т.к.
в равнобедренном треугольнике MDN медиана DA является высотой, то
MA
AD . Значит, h
AD , а т.к. AD || c , то h
c .
Таким образом, прямая h перпендикулярна каждой прямой
плоскости α . Следовательно, прямая h перпендикулярна плоскости α .
Пусть прямая h перпендикулярна пересекающимся прямым a и b
плоскости α . Докажем, что прямая h перпендикулярна произвольной
прямой c этой плоскости, непараллельной прямым a и b .
Выберем на прямых h , a , b и c ненулевые векторы ,
,
и
соответственно. Поскольку прямые a и b – пересекающиеся, векторы
и
не коллинеарны. Поэтому существует единственная пара чисел x
и y , для которой
= x
+ y
. Тогда
для скалярного произведения векторов
и
верно равенство
Следовательно, h
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| неизвестно | |
| Номер | 7700 |
