Информация о задаче

Задача 87232

Темы:	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]
	[	Построения на проекционном чертеже	]
	[	Признаки перпендикулярности	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Решение

Пусть данная точка M не лежит на данной прямой h. Проведем через них плоскость $\alpha$ . Пусть прямая плоскости $\alpha$ , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h, пересекает прямую h в точке A. Через произвольную точку, не лежщую в плоскости $\alpha$ и прямую h проведем плоскость $\beta$ . В плоскости $\beta$ проведем прямую AN, перпендикулярную прямой h. Через пересекающиеся прямые AM и AN проведем плоскость $\gamma$ . Поскольку прямая h перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и AN плоскости $\gamma$ , прямая h перпендикулярна плоскости $\gamma$ .

Докажем единственность. Предположим, что существует плоскость $\gamma_{1}^{}$ , проходящая через точку M перпендикулярно прямой h и отличная от плоскости $\gamma$ . Поскольку плоскости $\gamma$ и $\gamma_{1}^{}$ имеют общую точку M, они пересекаются по прямой l, проходящей через эту точку.

Если прямая l не пересекается с прямой h, то плоскости g и $\gamma_{1}^{}$ пересекают прямую h в двух различных точках B и C. Тогда в плоскости пересекающихся прямых MB и MC из точки M опущены два перпендикуляра MB и MC на прямую h. Что невозможно.

Если прямая l пересекает прямую h в точке D, то через прямую h и произвольную точку K, не лежащую на прямых l и h, проведем плоскость $\varphi$ . Эта плоскость пересекает плоскости $\gamma$ и $\gamma_{1}^{}$ по различным прямым, пересекающимся в точке D, а т.к. прямая h перпендикулярна плоскостям $\gamma$ и $\gamma_{1}^{}$ , то она перпендикулярна обеим этим прямым. Таким образом, в плоскости $\varphi$ через точку D проходят две различные прямые, перпендикулярные прямой h. Что также невозможно.

Пусть теперь точка M лежит на прямой h. В произвольной плоскости, проходящей через прямую h, проведем перпендикуляр MM₁ к прямой h. Затем через точку M₁, не лежащую на прямой h, указанным выше способом проведем плоскость, перпендикулярную прямой h. Далее все аналогично рассмотренному случаю.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7703