Имеется две кучки камней - по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

   Решение

Диагонали AD, BE и CF шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке. Пусть A' — точка пересечения прямых AC и FB, B' — точка пересечения BD и AC, C' — точка пересечения CE и BD. Докажите, что точки пересечения прямых A'B' и D'E', B'C' и E'F', C'D' и F'A' лежат на одной прямой.

   Решение

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

   Решение

Темы:    [ Признаки перпендикулярности ] [ Параллельность прямых и плоскостей ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что две различные плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Решение

Пусть различные плоскости α и β перпендикулярны прямой h . Поскольку через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, плоскости α и β пересекают прямую h в различных точках A и B . Предположим, что эти плоскости имеют общую точку M . Проведём плоскость γ через прямую h и точку M . Поскольку прямая h перпендикулярна плоскостям α и β , проведённая плоскость пересекает плоскости α и β по прямым MA и MB , перпендикулярным прямой h . Таким образом, в плоскости γ через точку M проведены две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой h . Что невозможно. Следовательно, плоскости α и β не имеют общих точек, т.е. параллельны.

Источники и прецеденты использования