Условие
Докажите, что через данную точку можно провести единственную
прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Решение
Пусть точка
M расположена вне плоскости
α (рис.1). Из точки
M опустим
перпендикуляр
MA на некоторую прямую
a плоскости
α . Если
MA 
α , то искомая прямая построена. В противном случае, в
плоскости
α через точку
A проведём прямую
b , перпендикулярную
прямой
a . Через пересекающиеся прямые
AM и
b проведём плоскость
β и в ней опустим перпендикуляр
MH из точки
M на прямую
b .
Докажем, что
MH α .
В самом деле, прямая
a перпендикулярна плоскости
β , т.к. она
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
AM и
AH этой плоскости.
Значит,
MH a . Таким образом, прямая
MH перпендикулярна двум
пересекающимся прямым
AH и
a плоскости
α . Следовательно,
MH α .
Докажем единственность. Предположим, что через точку
M проходят две
различные прямые, перпендикулярные плоскости
α (рис.2). Проведём через
них плоскость
γ . Пусть плоскости
α и
γ пересекаются
по прямой
l . Тогда в плоскости
γ из точки
M на прямую
l
опущено два различных перпендикуляра, что невозможно. Следовательно,
через точку, не лежащую в плоскости, можно провести единственную прямую,
перпендикулярную этой плоскости.
Пусть теперь точка
M лежит в плоскости
α . Через произвольную
точку
N , расположенную вне плоскости
α , проведём прямую
n ,
перпендикулярную плоскости
α (см. предыдущее построение), а через
точку
M проведём прямую
m , параллельную прямой
n . Если одна из двух
параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то вторая – также
перпендикулярна этой плоскости. Значит,
m α . Доказательство
единственности аналогично соответствующему доказательству для
случая, когда точка
M расположена вне плоскости
α .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7706 |
