Условие
Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к
наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к
ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость.
Решение
Необходимость.} Пусть прямая a , лежащая в плоскости α ,
перпендикулярна наклонной l к этой плоскости, b – ортогональная
проекция наклонной l на плоскость α , h – перпендикуляр, опущенный
из произвольной точки наклонной l на плоскость α . Тогда прямая a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым l и h плоскости
β , проходящей через пересекающиеся прямые b и l . Значит, прямая a
перпендикулярна любой прямой плоскости β . Следовательно, a 
b .
Достаточность.}Пусть b – ортогональная проекция наклонной l на
плоскость α , прямая a , лежащая в плоскости α , перпендикулярна
прямой b , h – перпендикуляр, опущенный из произвольной точки
наклонной l на плоскость α . Тогда прямая a перпендикулярна двум
пересекающимся прямым b и h плоскости β , проходящей через
пересекающиеся прямые b и l . Значит, прямая a перпендикулярна любой
прямой плоскости β . Следовательно, a l .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7707 |
