Условие
Докажите, что прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна к
наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна к
ортогональной проекции этой на наклонной на данную плоскость.
Решение
Необходимость.} Пусть прямая
a , лежащая в плоскости
α ,
перпендикулярна наклонной
l к этой плоскости,
b – ортогональная
проекция наклонной
l на плоскость
α ,
h – перпендикуляр, опущенный
из произвольной точки наклонной
l на плоскость
α . Тогда прямая
a
перпендикулярна двум пересекающимся прямым
l и
h плоскости
β , проходящей через пересекающиеся прямые
b и
l . Значит, прямая
a
перпендикулярна любой прямой плоскости
β . Следовательно,
a 
b .
Достаточность.}Пусть
b – ортогональная проекция наклонной
l на
плоскость
α , прямая
a , лежащая в плоскости
α , перпендикулярна
прямой
b ,
h – перпендикуляр, опущенный из произвольной точки
наклонной
l на плоскость
α . Тогда прямая
a перпендикулярна двум
пересекающимся прямым
b и
h плоскости
β , проходящей через
пересекающиеся прямые
b и
l . Значит, прямая
a перпендикулярна любой
прямой плоскости
β . Следовательно,
a l .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
неизвестно |
|
Номер |
7707 |
