Задача 87245

Темы:    [ Теорема о трех перпендикулярах ] [ Ортоцентрический тетраэдр ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника основания. Докажите, что противоположные рёбра пирамиды попарно перпендикулярны.

Решение

Пусть H – точка пересечения высот основания ABC треугольной пирамиды ABCD , DH – высота пирамиды. Тогда прямая AH – ортогональная проекция наклонной DA на плоскость основания. Поскольку H – точка пересечения высот треугольника ABC , прямая AH перпендикулярна BC . Значит, по теореме о трёх перпендикулярах DA BC . Аналогично докажем, что DB AC и DC AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7716