Задача 87246

Темы:    [ Двугранный угол ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

Решение

Прямая A1B1 – ребро двугранного угла с гранями α и β . Из точки B , лежащей в грани β , опустим перпендикуляр BB2 на грань α . Тогда B1B2 – ортогональная проекция наклонной BB1 на плоскость α . По теореме о трёх перпендикулярах B1B2 A1B1 , поэтому BB1B2 – линейный угол данного двугранного угла. По условию задачи BB1B2 = ϕ . Из прямоугольного треугольника BB1B2 находим, что

BB2 = BB1 sin ϕ = b sin ϕ, B1B2 = BB1 cos ϕ = b cos ϕ.
Опустим перпендикуляр AF из точки A грани α на прямую B1B2 . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AFB2 и ABB2 находим, что
AB22 = AF2 + B2F2 = A1B21 + (B1B2 - B1F)2 =

= A1B21 + (B1B2 - AA1)2 = c2 + (b cos ϕ - a)2,

AB2 = AB22 + BB22 = c2 + (b cos ϕ - a)2 + b2 sin 2ϕ =

= a2 + b2( sin 2ϕ + cos 2ϕ) + c2 + 2ab cos ϕ = a2 + b2 + c2 + 2ab cos ϕ .
Следовательно, AB = .

Обозначим = , = , = . Тогда
= - + + , 2 = (- )2 + 2 + 2 - 2 · - 2 · + 2 · .
Так как отрезки A1A и B1B перпендикулярны отрезку A1B1 , то
· = 0, · = 0, 2 = a2 + b2 + c2 - 2 · .
Векторы и сонаправлены сторонам линейного угла данного двугранного угла, поэтому (, ) = ϕ . Значит, · = ab cos ϕ . Следовательно,
AB = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7717