Задача 87254

Темы:    [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ] [ Площадь сечения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведённая через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45^o . Полученное сечение имеет площадь Q . Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём ABCD – ромб, сечение ADC1B1 образует с плоскостью основания ABCD угол 45^o и S(ADC1B1) = Q . Опустим перпендикуляр AM из вершины A на прямую B1C1 . Поскольку параллелепипед прямой, AA1 – перпендикуляр к плоскости основания A1B1C1D1 , поэтому A1M – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость основания A1B1C1D1 . По теореме о трёх перпендикулярах A1M B1C1 , поэтому AMA1 – линейный угол двугранного угла образованного плоскостями сечения и основания A1B1C1D1 . По условию задачи AMA1 = 45^o . Обозначим AD = a , AA1 = h . Из прямоугольного треугольника AMA1 находим, что AM = = h . Значит,

Q = S_ADC1B1 = B1C1· AM = ah,
откуда ah = . Пусть S – искомая площадь боковой поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Тогда
S = 4S_ADD1A1 = 4AD· AA1 = 4ah = = 2Q.

Ответ

2Q .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7725