ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87254
Темы:    [ Частные случаи параллелепипедов (прочее) ]
[ Площадь сечения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведённая через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45o . Полученное сечение имеет площадь Q . Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед с основанием ABCD и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём ABCD – ромб, сечение ADC1B1 образует с плоскостью основания ABCD угол 45o и S(ADC1B1) = Q . Опустим перпендикуляр AM из вершины A на прямую B1C1 . Поскольку параллелепипед прямой, AA1 – перпендикуляр к плоскости основания A1B1C1D1 , поэтому A1M – ортогональная проекция наклонной AM на плоскость основания A1B1C1D1 . По теореме о трёх перпендикулярах A1M B1C1 , поэтому AMA1 – линейный угол двугранного угла образованного плоскостями сечения и основания A1B1C1D1 . По условию задачи AMA1 = 45o . Обозначим AD = a , AA1 = h . Из прямоугольного треугольника AMA1 находим, что AM = = h . Значит,

Q = SADC1B1 = B1C1· AM = ah,

откуда ah = . Пусть S – искомая площадь боковой поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . Тогда
S = 4SADD1A1 = 4AD· AA1 = 4ah = = 2Q.


Ответ

2Q .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7725

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .