Задача 87258

Темы:    [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите объём правильного октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно a .

Решение

Рассмотрим правильный октаэдр как объединение двух правильных четырёхугольных пирамид PABCD и QABCD с общим основанием ABCD , причём вершины P и Q расположены по разные стороны от плоскости квадрата ABCD , а все рёбра этих пирамид равны a . Пусть O – центр квадрата ABCD . Тогда PO – высота пирамиды PABCD . Из прямоугольного треугольника AOP по теореме Пифагора находим, что

PO = = = .
Пусть V – объём октаэдра. Тогда
V = 2V_PABCD = 2· a2· = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7729