ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 87260
Темы:    [ Параллелепипеды (прочее) ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

Решение

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед с основаниями ABCD , A1B1C1D1 и боковыми рёбрами AA1 , BB1 , CC1 и DD1 , причём ABCD – квадрат со стороной a , вершина B1 равноудалена от вершин A , B , C и D , а расстояние от вершины B1 до плоскости основания ABCD равно b . Поскольку точка B1 равноудалена от вершин квадрата ABCD , она лежит на перпендикуляре к плоскости ABCD , проходящем через центр O квадрата. Перпендикуляр, опущенный из точки O на сторону BC , проходит через её середину M . По теореме о трёх перпендикулярах B1M BC , поэтому B1M – высота грани BB1C1C . Из прямоугольного треугольника B1OM находим, что

B1M = = .

Значит,
SAA1D1D = SBB1C1C = BC· B1M = a.

Аналогично,
SAA1B1B = SDD1C1C = a.

Если S – полная поверхность параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , то
S = 2a2 + 4a = 2a(a + ).


Ответ

2a(a + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер 7731

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .