Задача 87270

Темы:    [ Конус ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Два равных конуса имеют общую высоту. Плоскости их оснований параллельны. Докажите, что объём общей части конусов равен четверти объёма каждого из них.

Решение

Пусть O1 и O2 – основания конусов, r – радиус оснований. Тогда O1O2 = h – их общая высота. Рассмотрим сечение конусов плоскостью, проходящей через прямую O1O2 . Получим два равных равнобедренных треугольника с общей высотой O1O2 и параллельными основаниями. Поскольку O1 и O2 – середины оснований этих треугольников, боковые стороны треугольников делятся точками пересечения M и N пополам. Значит, MN – общая средняя линия треугольников. Пусть V – объём каждого из данных конусов. Их пересечение представляет собой фигуру, состоящую из двух равных конусов с общим основанием и равными высотами. Радиус основания каждого конуса равен половине отрезка MN , т.е. , а высота равна половине отрезка O1O2 , т.е. . Следовательно, искомый объём равен

2· π· ()2· = · π r2h = V.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7741