Задача 87279

Темы:    [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На прямой l в пространстве последовательно расположены точки A , B и C , причём AB = 18 и BC = 14 . Найдите расстояние между прямыми l и m , если расстояния от точек A , B и C до прямой m равны 12, 15 и 20 соответственно.

Решение

Пусть A1 , B1 и C1 – основания перпендикуляров, опущенных на прямую m из точек A , B и C соответственно (рис.1). По условию задачи

AA1 = 12, BB1 = 15, CC1 = 20.
Предположим, что прямые l и m лежат в одной плоскости. Ясно, что они не могут быть параллельными. Если точка пересечения прямых l и m лежит вне отрезка A1C1 (рис.2), то, опустив перпендикуляры AD и BE из точек A и B на прямые BB1 и CC1 соответственно, получим подобные треугольники ADB и BEC , что невозможно, т.к.
= = = .
Аналогично для случая, когда точка пересечения прямых l и m лежит на отрезке A1C1 . Таким образом, l и m – скрещивающиеся прямые. Рассмотрим ортогональную проекцию прямых l и m на плоскость α , перпендикулярную прямой m (рис.3). Пусть точки P , Q и R – ортогональные проекции на эту плоскость точек A , B и C соответственно, M – проекция точек A1 , B1 и C1 . По свойству параллельного проектирования
= = = ,
а т.к. отрезки AA1 , BB1 и CC1 перпендикулярны прямой m , то они параллельны плоскости α . Поэтому
PM = AA1 = 12, QM = BB1= 15, MR = CC1 = 20.
Положим PQ = 9x , QR = 7x , MRP = ϕ . Из треугольников MQR и MPR по теореме косинусов находим, что
cos ϕ = ,

cos ϕ = .
Из уравнения
=
находим, что x = 1 . Поэтому PR = 16x = 16 . Так как MP2 + PR2 = 144 + 256 = 400 = MR2 , треугольник MPR – прямоугольный, причём MPR = 90^o . Поэтому PM – перпендикуляр к проекции PR наклонной l на плоскость α . По теореме о трёх перпендикулярах MP l , а т.к. прямая PM лежит в плоскости α , перпендикулярной прямой m , то MP m . Осталось заметить, что отрезок MP есть ортогональная проекция на плоскость α общего перпендикуляра прямых l и m . Так как этот общий перпендикуляр параллелен плоскости α , то он равен отрезку MP . Следовательно, расстояние между прямыми l и m равно 12.

Ответ

12.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7750