Задача 87284

Темы:    [ Правильная пирамида ] [ Боковая поверхность тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Через одно из рёбер основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении m:n , считая от вершины основания. Найдите полную поверхность пирамиды.

Решение

Пусть плоскость, проходящая через сторону AB основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD перпендикулярно боковому ребру CD , пересекает это ребро в точке M , причём CM:DM = m:n . Обозначим CM = mx , DM = nx . Тогда BD = CD = (m + n)x . Поскольку ребро CD перпендикулярно секущей плоскости, BM CD . По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMC и BMD находим, что

BC2 - CM2 = BD2 - DM2, илиa2 - m2x2 = (m + n)2x2 - n2x2,
откуда x2 = . Пусть K – середина AB . Тогда DK – апофема пирамиды ABCD . Из прямоугольного треугольника DKB находим, что
DK = = .

= = a = a.
Пусть S – искомая полная поверхность пирамиды. Тогда
S = S_{Δ ABC} + 3S_{Δ ABD} = + a2 = (1+).

Ответ

(1+) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7755