Задача 87287

Темы:    [ Боковая поверхность призмы ] [ Теорема о трех перпендикулярах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Основание наклонной призмы – равносторонний треугольник со стороной a . Одно из боковых рёбер равно b и образует с прилежащими сторонами основания углы 45^o . Найдите боковую поверхность призмы.

Решение

Пусть боковое ребро AA1 данной треугольной призмы ABCA1B1C1 образует со сторонами AB и AC углы, равные 45^o . Из вершины A1 опустим перпендикуляр A1P на плоскость основания ABC , а из точки P – перпендикуляры PM и PN на прямые AB и AC . По теореме о трёх перпендикулярах A1M AB и A1N AC . Прямоугольные треугольники AA1M и AA1N равны по гипотенузе и острому углу, поэтому PM = PN , т.е. точка P – равноудалена от сторон AB и AC угла BAC . Значит, точка P лежит на биссектрисе этого угла, а т.к. биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой, то AP BC . Таким образом, ортогональная проекция наклонной AA1 на плоскость основания перпендикулярна прямой BC . По теореме о трёх перпендикулярах AA1 BC . Значит, BB1 BC и CC1 BC , а параллелограмм BB1C1C – прямоугольник. Далее имеем:

S_BB1C1C = BC· BB1 = ab, A1N = A1M = AA1 sin A1AM = ,

S_AA1C1C = S_AA1B1B = AB· A1M = .
Если S – боковая поверхность призмы, то
S = S_BB1C1C + S_AA1C1C + S_AA1B1B =

= S_BB1C1C + 2S_AA1B1B = ab + ab = ab(1 + ).

Ответ

ab(1 + ) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7758